Grössen und Einheiten kommen in allen Schulfächern vor, in denen „gerechnet“ wird. Besonders in den naturwissenschaftlichen Fächern Physik und Chemie kann das Wissen, wie man mit Grössen und Einheiten richtig rechnet beziehungsweise „umgeht“, ausschlaggebend sein, um komplexe Sachverhalte einfacher verstehen zu können. Das Rechnen mit Grössen und Einheiten gehört damit zum Basiswissen vieler Schulfächer.
Die Anwendungssicherheit beim Umrechnen von Grössen und Einheiten bildet hierbei die Grundlage, um Aufgaben mit Größen richtig ausrechnen zu können.
Beim Rechnen mit Grössen und Einheiten werden im Allgemeinen folgende Rechenarten unterschieden:
- Addition und Subtraktion von Masszahlen
- Multiplikation und Division von Zahlen und Masszahlen
- Multiplikation und Division von Größen gleicher Art
- Vergleichen von Größen
- Herleitung von Formeln (besondere Form des Rechnens mit Größen)
Addition und Subtraktion von Masszahlen
Es dürfen nur gleiche Grössen mit derselben Masseinheit addiert oder subtrahiert werden. Daher kann es notwendig sein, vorher die Grössen auf dieselbe Masseinheit zu vergröbern oder zu verfeinern.
Addition von Masszahlen
Bei der Addition werden die Masszahlen addiert. Die Masseinheiten bleiben unverändert.
- Umwandeln der Grössen in die gleiche Masseinheit
- Addieren der Masszahlen
- „Setzen“ der Masseinheit hinter das Ergebnis
Beispiel:
12 t + 550 kg = 12 t + 0,55 t = 12,55 t
Subtraktion von Masszahlen
Bei der Subtraktion werden die Masszahlen von einander subtrahiert.
Die Masseinheiten bleiben unverändert.
- Umwandeln der Grössen in die gleiche Masseinheit
- Subtrahieren der Masszahlen
- „Setzen“ der Masseinheit hinter das Ergebnis
Beispiel:
12,55 t – 550 kg = 12,55 t – 0,55 t = 12 t
Multiplikation und Division von Zahlen und Masszahlen
Multiplikation von Zahlen und Masszahlen
Bei der Multiplikation von Zahlen und Masszahlen werden nur die „Zahlen“ multipliziert.
Die Masseinheit bleibt unverändert.
- Multiplizieren der Zahl mit der Masszahl
- „Setzen“ der Masseinheit hinter das Ergebnis
Beispiel:
4 7,5 m² = 30 m²
Division von Masszahlen durch Zahlen
Bei der Division von Masszahlen durch Zahlen wird die Maßzahl durch die Zahl geteilt.
Die Masseinheit bleibt unverändert.
- Dividieren der Masszahl durch die Zahl
- „Setzen“ der Masseinheit hinter das Ergebnis
Beispiel:
30 m² ÷ 4 = 7,5 m²
Multiplikation und Division gleicher Grössen
Unter gleichen Grössen versteht man, dass alle Maßeinheiten der gleichen Grösse (zum Beispiel Entfernung oder Gewicht) zugordnet sind.
Beispiel:
Die Masseinheiten km, m, mm gehören alle zur Grösse „Entfernung“ und sind gleiche Grössen.
Die Masseinheiten km und km² gehören einmal zur Grösse „Entfernung“ sowie einmal zur Grösse „Fläche“ und sind daher ungleiche Grössen.
Bei der Multiplikation und Division von gleichen Grössen dürfen nur gleiche Masseinheiten multipliziert oder dividiert werden. Daher kann es notwendig sein, vorher die Größen auf dieselbe Masseinheit zu vergröbern oder zu verfeinern.
Bei der Multiplikation und Division gleicher Grössen finden die Potenzgesetze Anwendung.
Multiplikation gleicher Grössen
Bei der Multiplikation von gleichen Grössen multipliziert man die Zahlen miteinander und die Masseinheiten miteinander. Anschliessend werden beide Produkte zusammengesetzt.
Das Produkt aus zwei Grössen ist wieder eine (neue) Grösse. (vergleiche Punkt 5. Herleitung von Formeln)
- Umwandeln der Grössen die gleiche Masseinheit
- Multiplizieren der Masszahlen
- Multiplizieren der Masseinheiten
- „Zusammenfügen“ beider Ergebnisse (multiplizieren)
Beispiel:
30 m • 4.000 cm = 1.200 m²
30 m • 4.000 cm = 30 m 40 m
30 • 40 = 1.200
m • m = m²
1.200 m² (1.200 • m²)
Division gleicher Grössen
Bei der Division von Grössen gleicher Art dividiert man die Zahlen durch einander und die Masseinheiten durch einander. Anschließend werden beide Quotienten als Produkt zusammengesetzt.
Der Quotient gleicher Grössen ist immer eine Zahl.
- Umwandeln der Grössen in die gleiche Masseinheit
- Dividieren der Masszahlen
- Dividieren der Masseinheiten
- „Zusammenfügen“ beider Ergebnisse (multiplizieren)
Beispiel:
0,09 km ÷ 30 m = 3
0,09 km ÷ 30 m = 90 m ÷ 30 m
90 ÷ 30 = 3
m ÷ m = 1
30 1 = 3
Vergleichen gleicher Grössen
Beim Vergleichen gleicher Grössen dürfen nur gleiche Masseinheiten miteinander ins Verhältnis gesetzt werden. Daher kann es notwendig sein, vorher die Grössen auf dieselbe Masseinheit zu vergröbern oder zu verfeinern.
- Umwandeln der Grössen in die gleiche Masseinheit
- Vergleichen der Masszahlen
Beispiel:
1.300 l > 9.000.000 cm³
1.300 l = 1.300 dm³ = 1.300.000 cm³
1.300.000 cm³ > 9.000.000 cm³
Herleitung von Formeln
Das Herleiten von Formeln ist eine Besonderheit des Rechnens mit Grössen.
Eine Formel stellt einen Zusammenhang zwischen verschieden Grössen her. Formeln werden in der Regel als Gleichung (selten als Ungleichung) dargestellt und sind gegenüber einer Textform (Beschreibung) kürzer und präziser. Formeln stehen für Definitionen, Vorschriften, Regeln und Gesetzmäßigkeiten.
Beispiel 1: Formeln aus gleichen Basisgrössen
Die Grösse Volumen (auch dreidimensionaler Rauminhalt genannt) ergibt sich aus dem Produkt der drei Basisgrösen „Länge, Breite, Höhe“ und ist damit eine abgeleitete Größe mit einer neuen Masseinheit (z.B. m³).
V = a • b • h
Länge 1: a = 6 cm (Länge)
Länge 2: b = 2 cm (Breite, Tiefe)
Länge 3: h = 4 cm (Höhe)
V = 6 cm 2 cm 4 cm = 48 cm³
Beispiel 2: Formeln aus unterschiedlichen Basisgrössen
Die Geschwindigkeit „V“ gibt an, wie schnell sich ein Körper bewegt, also welche Strecke „s“ dieser Körper in einer bestimmten Zeit „t“ zurücklegt und ergibt sich somit aus deren Verhältnis.
Formel: V = s ÷ t
Die physikalische Grösse Geschwindigkeit „V“ ergibt sich aus dem Quotienten der Basisgröße Länge „s“ und der Basisgrösse Zeit „t“ und ist damit eine abgeleitete Grösse mit einer neuen Masseinheit (z.B. km/h).
t = 2 h
s = 180 km
V = 180 ÷ 2 km ÷ h = 90 km/h
Beispiel 3:
Formeln aus Basisgrössen und abgeleiteten Grössen
Die physikalische Dichte „r“ gibt an, wie viel Masse „m“ in einem Volumen „V“ vorhanden ist.
Die Dichte „r“ gibt somit an, ob ein Körper im Verhältnis zu seiner Grösse leicht oder schwer ist und wird durch das Verhältnis seines Volumens zu seiner Masse bestimmt.
Formel: r = m ÷ V
Die physikalische Grösse Dichte „r“ ergibt sich aus dem Quotienten der Basisgrösse Masse „m“ und der abgeleiteten Grösse Volumen „V“ und ist damit ebenfalls eine abgeleitete Grösse mit einer neuen Masseinheit (z.B. g/cm³).
m = 5 g
V = 10 cm³ (a = 1 cm, b = 2 cm, c = 5 cm)
r = 5 ÷ 10 g ÷ cm³ = 0,5 g/cm³
Schlussbemerkung und Hinweise:
Viele Schüler und Schülerinnen kennen die unterschiedlichen Grössen schon aus dem alltäglichen Leben. Im Unterricht wird dieses Wissen lediglich auf eine „schulische Ebene“ gehoben als Ausgangspunkt für das Verstehen der Grössen und Einheiten. Kinder und Jugendliche sollten daher immer wieder im „realen Leben“ mit Grössen und Einheiten üben, egal ob bei der Einkaufliste, beim Renovieren oder Kochen und Backen. Dieses fördert gerade in jungen Jahren das Verständnis für dieses komplexe Thema.
Das Rechnen mit Grössen und Einheiten bildet die Grundlage, gerade in den Fachbereichen Mathematik, Physik und Chemie, um Verständnis für die wissenschaftlichen Erklärungen unserer Umwelt zu entwickeln.
